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%--------------------------------------------------------------------------------
\title{Dinamica di una componente di energia oscura dell'universo}
\author{Davide Poletti}
\institute{
{Relatore: Dott. Nicola Bartolo}\\
\vspace{3mm}
{\it Università degli Studi di Padova\\
Corso di Laurea in Fisica}}
\date{28 settembre 2011}

%--------------------------------------------------------------------------------
\begin{document}
\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
    \tableofcontents
    {\small Il lavoro si basa sullo studio e sulla rielaborazione dell'articolo
    ``{\it Cosmological Tracking Solution}'' di P. J. Steinhardt, L. Wang, I.
    Zlatev (1999). {\it Physical Review D, Volume 59, 123504}}
\end{frame}

\section{Elementi di cosmologia}
\subsection{}
\begin{frame}
    Universo omogeneo, isotropo e piatto ($\rho_\text{tot} =
    \rho_\text{crit}$).
    \begin{itemize}
        \item[$\Rightarrow$] $ds^2 = (cdt)^2 - a(t)^2 d \vec{x}^2$;\\
            $H \equiv \dot{a}/a$;
        \item[$\Rightarrow$] componenti dell'universo trattabili come fluidi
            omogenei e isotropi;
            \begin{itemize}
                \item densità $\rho$, pressione $p$;
                \item equazione di stato $w \equiv {p}/{\rho}$; \\
                    (radiazione $w_r = \frac{1}{3}$, materia $w_m \approx 0$);
                \item $\Omega \equiv \rho/\rho_\text{crit}$;\\
                \item $\rho(a) \propto a^{-3(1+w)}$.\\
            \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Energia oscura}

    {\small
    Varie osservazioni, tra cui quelle condotte sulle \emph{supernovae di
    tipo Ia} (1998), testimoniano che all'epoca presente l'espansione
    dell'universo è accelerata.\\
    \vspace{3mm}
    Seconda equazione di Friedmann:
    \begin{equation*}
        \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\rho(1+3w).
    \end{equation*}
    $\Rightarrow$ \emph{Energia oscura}, caratterizzata da $w<-\frac{1}{3}$,
    domina l'energia totale.\\
    \vspace{3mm}
    \begin{block}
        {Modello cosmologico standard $\Lambda$CDM}
        \begin{itemize}
        \item 76\% Energia oscura sotto forma di una costante cosmologica
            $\Lambda$ (Densità di energia costante nel tempo).
        \item 20\% Materia oscura.
        \item 4\% Materia ordinaria.
        \item 0.01\% Radiazione
        \end{itemize}
    \end{block}
    }
\end{frame}

\begin{frame}{Problema della coincidenza cosmica}

    {\large Perché proprio all'epoca presente materia e energia oscura hanno
    densità di energia paragonabili?}\\
    \vspace{2 mm}
    $\Lambda CDM$: conseguenza delle condizioni iniziali.

    $\Rightarrow$ \emph{Problema delle condizioni iniziali}: l'insieme di
    queste condizioni iniziali è estremamente ridotto.
    \begin{figure}[t]
        \begin{center}
            \includegraphics[width=0.6\textwidth]{scaling_densities.eps}
        \end{center}
    \end{figure}
\end{frame}

\section{Campi scalari}
\subsection{}
\begin{frame}{Campi scalari}

    {\small
    Un \emph{campo scalare} è una funzione $\varphi$ a valori reali definita sullo
    spazio-tempo.\\
    Consideriamo dei campi scalari la cui lagrangiana è del tipo
    \begin{equation*}
        L_\varphi = \frac{1}{2}\dot{\varphi}^2
        - V(\varphi).
    \end{equation*}
    In un universo in espansione, l'equazione del moto risulta essere
    \begin{equation*}
        \ddot{\varphi} + 3H \dot{\varphi} + V'(\varphi) = 0, \;\;\;\; H^2=
        \frac{8 \pi G}{3}\rho_\text{tot}.
    \end{equation*}
    Il campo scalare si manifesta come un fluido con densità e pressione date da
    \begin{align*}
        \rho_\varphi &= \frac{1}{2} \dot{\varphi}^2 + V(\varphi),\;\;\;
        p_\varphi = \frac{1}{2} \dot{\varphi}^2 - V(\varphi).
    \end{align*}
    L'equazione di stato del campo scalare risulta essere
    \begin{align*}
        w_\varphi = \frac{\frac{1}{2} \dot{\varphi}^2 - V(\varphi)}{\frac{1}{2}
        \dot{\varphi}^2 + V(\varphi)}.
    \end{align*}
    }
\end{frame}

\begin{frame}{Energia oscura sotto forma di campo scalare}
    Può un campo scalare manifestarsi come l'energia oscura?\\
    Ovvero è possibile che:
    \begin{itemize}
        \item il campo diventi {\bf dominante all'epoca presente};
        \item si manifesti come un fluido caratterizzato da
            ${\bf w<-\frac{1}{3}}$;
    \end{itemize}
    Un campo scalare ha una dinamica molto più varia della costante
    cosmologica.\\
    \`E interessante studiare se è possibile che:    
    \begin{itemize}
        \item  l'evoluzione a lungo termine sia {\bf
            indipendente dalle condizioni iniziali}.
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    {Dinamica di un campo scalare}
    L'equazione del moto può essere riscritta come ($x \equiv
    \dot{\varphi}^2/2V$, $k = 8\pi G/3$)
    \begin{equation*}
        \pm \frac{V'}{V} = 3 \sqrt{\frac{k}{\Omega_\varphi}} \sqrt{1+w_\varphi}
        \left[ 1 + \frac{1}{6} \frac{d \ln{x}}{d \ln{a}} \right].
    \end{equation*}
    Introduciamo un'importante funzione
    \begin{equation*}
        \Gamma \equiv \frac{V''V}{(V')^2}.
    \end{equation*}
    Si ricava una utile espressione di $\Gamma$
    \begin{equation*}
        \Gamma = 1 + \frac{3(1-\Omega_\varphi)(w_B
        -w_\varphi)}{(1+w_\varphi)(6 + \dot{x})}-
        \frac{1-w_\varphi}{2(1+w_\varphi)}
        \frac{\dot{x}}{6+\dot{x}} -
        \frac{2}{1+w_\varphi}\frac{\ddot{x}}{(6+\dot{x})^2},
    \end{equation*}
    dove $\dot{x} = d \ln{x}/d \ln{a}$ e $\ddot{x} = d^2 \ln{x}/d \ln{a}^2$
\end{frame}

\section{La soluzione attrattrice}
\subsection{}
\begin{frame}{Soluzione attrattrice}
    \begin{block}{Soluzione attrattrice}
        Una soluzione dell'equazione del moto alla
        quale convergono tutte le soluzioni per dati iniziali appartenenti a un
        certo intervallo chiamato bacino di attrazione.
    \end{block}
    \vspace{5 mm}
    $\Gamma > 1$, $\Gamma \approx cost$ $\Rightarrow$ la soluzione
    attrattrice esiste con $w_\varphi < w_B$.\\
    \vspace{5 mm}
    $w_\varphi < w_B$ $\Rightarrow$ Il campo diventa
    dominante.\\
\end{frame}

\begin{frame}
    {Identificazione della soluzione attrattrice}

    {\small
    \begin{itemize}
        \item Esiste una soluzione lungo la quale $\dot{x}=0$, con un certo
            dato iniziale. 
        \item Soluzioni per dati iniziali differenti si avvicinano alla
            soluzione caratterizzata da $\dot{x}=0$.
            \begin{figure}[h!]
                \centering
                \subfigure{\includegraphics[scale=0.28]{convergenza_w.eps}}
                \hspace{4mm}
                \subfigure{\includegraphics[scale=0.29]{convergenza_rho.eps}}
            \end{figure}
        \item Piccole perturbazioni della soluzione attrattrice decrescono con il
            tempo.
            \begin{equation*}
                \ddot{\delta} +\frac{2}{1+w_B}\frac{\dot{\delta}}{t} + \eta
                \frac{\delta}{t^2}= 0\;\;\;\;\; (\delta(t) =
                t^{-\frac{1-w}{1+w} \pm \sqrt{\frac{1-w}{1+w} -\eta}}).
            \end{equation*}
    \end{itemize}
    }
\end{frame}

\begin{frame}
    {Esempi di potenziale}
    \begin{itemize}
        \item \emph{esponenziale}
            ($\Gamma = 1$):
            \begin{equation*}
            V(\varphi) = V_0
            \exp{(-\frac{\lambda}{M_P}\varphi)},\; \lambda>0.
            \end{equation*}
            {\scriptsize Studio e rielaborazione di parte dell'articolo {\it``Cosmology with a Primordial Scaling Field''} di P. G. Ferreira e
            M. Joyce (1998). {\it Physical Review D, Volume 58, 023503}}.
        \item \emph{legge di potenza inversa}
            ($\Gamma = 1 + \alpha^{-1}$):
            \begin{equation*}
           V(\varphi) = M^{4+\alpha}\varphi^{-\alpha},\; \alpha>0.
            \end{equation*}
            {\footnotesize La soluzione attrattrice è
            \begin{equation*}
                \varphi(t)=At^C ,\;\;\;\;\;\; C =  \frac{2}{\alpha
                +2},\;\;\ A=\left[ \frac{C}{\alpha M^{4 + \alpha}} \left( C-1 + \frac{2}{1+w_B}\right)
                \right]^{- \frac{1}{\alpha+2}}.
            \end{equation*}
            L'equazione di stato risulta essere
            \begin{equation*}
                w_\varphi = \frac{\frac{\alpha}{2}w_B -1}{\frac{\alpha}{2}+1}.
            \end{equation*}
            }
    \end{itemize}

\end{frame}

\section{Conclusioni}
\subsection{}
\begin{frame}{I vincoli sulla dinamica sono vincoli sul potenziale}
    \begin{itemize}
        \item $w<-\frac{1}{3}$ \\
            $\Rightarrow$ Vincoli sulla pendenza del potenziale.
        \item Esistenza della soluzione attrattrice.\\
            Campo diventa dominante.\\
            $\Rightarrow$ Vincoli su $\Gamma$.                            
        \item $\Omega_\varphi \approx 0.75$ all'epoca presente.\\
            $\Rightarrow$ Calibrazione dei parametri liberi del
            potenziale.
    \end{itemize}
    $\Rightarrow$ Il potenziale assume un ruolo centrale.
\end{frame}

\begin{frame}
    {Conclusioni}
    Risultati
    \begin{itemize}
        \item Un campo scalare che evolve lentamente può condurre l'universo in un
            periodo di \emph{espansione accelerata}.
        \item Per un'ampia famiglia di potenziali i campi scalari producono
            \emph{una cosmologia insensibile alle condizioni iniziali}, in
            contrasto con il modello $\Lambda CDM$.
    \end{itemize}
    Limiti del modello
    \begin{itemize}
        \item La coincidenza cosmica è conseguenza della calibrazione dei
            parametri liberi del potenziale.
    \end{itemize}
    Sviluppi
    \begin{itemize}
        \item Indagare quantitativamente il bacino di attrazione delle
            soluzioni attrattrici.
    \end{itemize}
\end{frame}

\section{$\,$}

\begin{frame}{Proprietà della soluzione attrattrice}
    Il campo scalare non è inizialmente la componente dominante ma è
    destinata a diventarla. \`E possibile legare il potenziale alla velocità
    con cui ciò avviene.\\
    Quando $\Omega_\varphi \ll \Omega_B$, lungo la soluzione
    attrattrice $\dot{x} \equiv \frac{d \ln{x}}{d \ln{a}}=0$.
    \begin{align*}
        &\Rightarrow w_\varphi = \frac{(1-\Omega_\varphi)w_B - 2(\Gamma
        -1)}{(1-\Omega_\varphi)+ 2(\Gamma -1)}.\\
        &\Rightarrow \frac{\rho_\varphi}{\rho_B} = \frac{\rho_{\varphi i}}{\rho_{Bi}}
        \left( \frac{a}{a_i} \right)
        ^{3(w_B + 1)\left(\frac{1-\Omega_\varphi}{2(\Gamma-1)}+1\right)^{-1}}.
    \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}
    {Come le varie soluzioni si avvicinano alla soluzione attrattrice
    $\tilde{\varphi}(t)$}
    
    {\footnotesize
    \begin{equation*}
        \frac{1}{6}\frac{d \ln{x}}{d \ln{a}} = - \frac{1}{3 \sqrt{k(1 +
        w_\varphi)}}\sqrt{\Omega_\varphi}\frac{V'}{V}-1 \equiv \Delta(t) -1.
    \end{equation*}
    }
    \begin{itemize}
        \item $\rho_{i} \gg \tilde{\rho}_i$
            \begin{enumerate}
                \item $|V'/V|$ e $\Omega_\varphi$ sono grandi $\Rightarrow$
                    $\dot{x}\gg 0$ $\Rightarrow$ $w_\varphi$ cresce.
                \item $w_\varphi \approx 1$ $\Rightarrow$ $\Omega_\varphi$
                    decresce.
                    Quando $\Delta \approx 1$ si ha
                    $w_\varphi > w_{\tilde{\varphi}}$ $\Rightarrow$ La
                    soluzione attrattrice viene sorpassata.
                \item $\dot{x}<0$ $\Rightarrow$ $w_\varphi$ decresce.\\
                    Quando $w_\varphi \approx w_{\tilde{\varphi}}$ si ha
                    $\Delta < 1$ $\Rightarrow$ $w_\varphi$ continua a
                    decrescere.
                \item $w_\varphi \approx -1$ $\Rightarrow$ Il campo è fermo
                    a $\varphi_f$ $\Rightarrow$ $|V'/V|$ e $\rho_\varphi$
                    sono costanti $\Rightarrow$ $\Delta$ cresce.\\
                    Dopo qualche oscillazione di $\Delta$ $\varphi(t)$ si
                    unisce alla soluzione attrattrice.
            \end{enumerate}

        \item $\rho_{i} \ll \tilde{\rho}_i$\\
            La dinamica è identica al caso precedente a partire dal punto 4.
    \end{itemize}
\end{frame}
\end{document}
